Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（3）當(dāng)a＞1，x∈（t，a）時，f（x）的值域是（1，+∞）求a與t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，易得f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，代入解析式變形可得log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，由對數(shù)的性質(zhì)可得

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，解可得m=1或m=-1，分別驗證m=1、m=-1是否符合對數(shù)函數(shù)的定義域要求，即可得答案；
（2）由（1）可得f（x）=log_a

1+x

x-1

，設(shè)任意的1＜x₁＜x₂，有作差法可得f（x₂）-f（x₁）=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論f（x₂）-f（x₁）的符號，即可得答案；
（3）求出f（x）的定義域，可得（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），分析可得（t，a）⊆（1，+∞），由（2）中得到的單調(diào)性，可得f（a）=1且

t+1

t-1

=0，解可得答案．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點對稱，
即f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，
log_a

1+mx

-x-1

+log_a

1-mx

x-1

=log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，
即

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，
解可得，m=1或m=-1，
當(dāng)m=1時，

1-mx

x-1

=-1＜0，不合題意，舍去；
當(dāng)m=-1時，

1-mx

x-1

=

1+x

x-1

，符合題意，
故m=-1；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此時f（x）為增函數(shù)，當(dāng)a＞1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，證明如下
由（1）得m=-1，則f（x）=log_a

1+x

x-1

，
任取1＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=log_a

1+x2

x2-1

-log_a

1+x1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，
又由1＜x₁＜x₂，則0＜

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜1，
當(dāng)0＜a＜1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此時f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，
（3）由（1）知，f（x）=log_a

1+x

x-1

，

1+x

x-1

＞0，解可得，x＞1或x＜-1，
則f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）⊆（∞，-1）不成立，則必有（t，a）⊆（1，+∞），
此時，f（x）的值域為（1，+∞），又由函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
必有f（a）=1且

t+1

t-1

=0；
解可得，t=-1，a=1+

2

；
故t=-1，a=1+

2

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及值域等性質(zhì)，注意（1）中，求出m的值必須進(jìn)行驗證，其次要牢記對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．