Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=nlog₂（a_n+2），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n+2n=2a_n得S_n=2a_n-2n，則n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），兩式相減可得遞推式，變形可構(gòu)造等比數(shù)列，求出新數(shù)列通項后進而可得a_n；
（2）先表示出b_n，拆項后利用裂項相消法可求得T_n．

解答：解：證明：（1）由S_n+2n=2a_n
得S_n=2a_n-2n，
當n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
當n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2．
則當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，
（2）證明：∵a_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴b_n=nlog₂（a_n+2）=n（n+1），

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項及數(shù)列求和，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．