Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知S△ABC=

3

2

3

，且b=2，c=3，O為△ABC的外心，則

OB

•

OC

=

-

7

6

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，使其等于已知的面積，把b和c的值代入求出sinA的值，由三角形ABC為銳角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而求出cos∠BAC的值，由O為三角形的外心，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠BAC的度數(shù)求出∠BOC的度數(shù)，由b，c及cos∠BAC的值，利用余弦定理求出a的值，設(shè)三角形的外接圓半徑為r，由a，sinA，利用正弦定理求出r的值，即為|OB|與|OC|的長，最后利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡所求的式子，把各種的值代入即可求出值．

解答：解：∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

2

，b=2，c=3，
∴sin∠BAC=

3

2

，又△ABC為銳角三角形，
∴∠BAC=60°，cos∠BAC=

1

2

，
∵O為△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵b=2，c=3，cos∠BAC=

1

2

，
∴根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos∠BAC=4+9-6=7，
解得：a=

7

，
由正弦定理可得：2r=

a

sinA

=

2 21

3

，∴r=

21

3

，
則

OB

•

OC

=|OB|•|OC|cos∠BOC=

21

3

•

21

3

•cos120°=-

7

6

．
故答案為：-

7

6

點評：此題考查了三角形的面積公式，圓周角定理，正弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運算法則，熟練掌握定理、公式及法則是解本題的關(guān)鍵．