Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f(

1

2

)=0，△ABC的內(nèi)角A滿足f（cosA）≤0，求角A的取值范圍

Answer 1

分析：由定義在R上的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，又由f(

1

2

)=0，我們根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得f(-

1

2

)=0，f（0）=0，然后對A的取值進行分類討論即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)0＜A＜

π

2

時，cosA＞0，
f(cosA)≤0=f(

1

2

)，
f（x）在（0，+∞）上為遞增函數(shù)，
得cosA≤

1

2

，
∴

π

4

≤A＜

π

2

；
（2）當(dāng)

π

2

＜A＜π時，cosA＜0，
f(cosA)≤0=f(-

1

2

)，
f（x）在（-∞，0）上也為遞增函數(shù)，
得cosA≤-

1

2

，
∴

2π

3

≤A＜π；
又A=

π

2

時，cosA=0，
f（0）≤0也成立（f（0）=0），
綜上所述，角A的取值范圍是[

π

3

，

π

2

]∪[

2π

3

，π)．

點評：本題考查的知識是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，這兩個函數(shù)綜合應(yīng)用時，要注意：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反．