Question

設函數的圖象關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求實數k的值；
（Ⅱ）若且f（|t|+2）＜f（4a），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數的圖象關于直線y=x對稱故函數的反函數為其本身所以可求出函數f（x）的反函數然后令f^-1（x）=f（x）即可求出k．
（2）可在（1）的基礎上求出a然后判斷函數f（x）的單調性再根據單調性解不等式f（|t|+2）＜f（4a）即可．
解答：解：（1）∵y=
∴x=
∴f^-1（x）=
∵函數的圖象關于直線y=x對稱
∴=
∴k=1
（2）由（1）知k=1∴a==1
∵f（|t|+2）＜f（4a）
∴f（|t|+2）＜f（4）
∵f（x）=在（1，+∞）單調遞減且|t|+2≥2＞1，4＞1
∴|t|+2＞4
∴t＞2或t＜-2
點評：本題主要考察了反函數的概念和利用函數的單調性解不等式．解題的關鍵是第一問要根據條件函數的圖象關于直線y=x對稱分析出函數的反函數仍為其本身而對于第二問先利用極限的四則運算法則求出a的值然后可得出|t|+2≥2＞1，4＞1故要判斷f（x）=在（1，+∞）上的單調性然后根據單調性和函數值的大小脫去符號“f”從而得出t的取值范圍！