Question

已知偶函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實(shí)根，化簡可得有且只有一個實(shí)根，令t=2^x＞0，則轉(zhuǎn)化成方程有且只有一個正根，討論a=1，以及△=0與一個正根和一個負(fù)根，三種情形，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點(diǎn)
即方程有且只有一個實(shí)根
化簡得：方程有且只有一個實(shí)根
令t=2^x＞0，則方程有且只有一個正根
①，不合題意；
②或-3
若，不合題意；若
③若一個正根和一個負(fù)根，則，即a＞1時，滿足題意．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＞1或a=-3}
點(diǎn)評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．