Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在x=1處的切線為l：3x-y+1=0．
（1）若x=

2

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h(x)=f(x)-

a

2

x2+2(a-a2)x，求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（其中a∈R）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得2a+b=0，利用x=

2

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有極值，及切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先確定h(x)=x3+

a

2

x2-2a2x+a+3，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．
當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．  ①
當(dāng)x=

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時(shí)，y=f（x）有極值，則f′（

2

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）=0，可得4a+3b+4=0．  ②
由①、②解得a=2，b=-4．
由于l上的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1，∴f（1）=4，∴1+a+b+c=4，∴c=5．
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．   …（6分）
（2）由（1）得

2a+b=0 1+a+b+c=4

，∴

b=-2a c=a+3

，
∴h(x)=x3+

a

2

x2-2a2x+a+3．
則h′（x）=3x²+ax-2a²=（x+a）（3x-2a）．
①當(dāng)a=0時(shí)，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）＞0，解得x＜-a或x＞

2

3

a，∴h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-a）和(

2

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a，+∞)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，令h′（x）＞0，解得x＜

2

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a或x＞-a，∴h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

2

3

a)和（-a，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)解析式，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．