Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過右焦點(diǎn)F的直線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn)，若成等差數(shù)列，且公差等于短軸長的．
（1）求橢圓的離心率； 
（2）若△OAB的面積為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為：（a＞b＞0），，，則：（m-d）²+m²=（m+d）²，故，由，知=，由此能求出橢圓的離心率．
（2）直線AB的斜率，其方程為：，由和，得：41y²+24by-16b²=0．由此能夠求出該橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為：（a＞b＞0），
，，
則：（m-d）²+m²=（m+d）²，∴，
又，∴=，
即，從而，
且，故，
∴橢圓的離心率為．
（2）直線AB的斜率，
其方程為：，
由（1），
則由，
消x得：41y²+24by-16b²=0
設(shè)，，
則：，，
有S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB
=
=，
又△OAB的面積為，
∴，解得b²=41，a²=2b²=82
∴該橢圓的方程為：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率，求橢圓的方程．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．