Question

已知過(guò)橢圓C：+=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對(duì)稱軸的方程是．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對(duì)于任意一點(diǎn)M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是．推出f（）=f（），利用取，整理得a=b，求出離心率，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)然后求出直線方程；
（2））利用與是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，由平面向量的基本定理，表示，設(shè)M（x，y），通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，推出x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．代入橢圓方程，推出x₁x₂+3y₁y₂=0，由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，整理出λ²+μ²=1．根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，總存在角θ，θ∈R使等式成立，就是+sinθ成立．
得到結(jié)論．
解答：解：（1）函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對(duì)稱軸的方程是．所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（）=f（），
取得f（0）=f（），整理得a=b，
則橢圓的方程為x²+3y²=3b²…①．
于是橢圓C的離心率e=====．
又橢圓的右焦點(diǎn)F（）
因?yàn)檫^(guò)橢圓C：+=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線，
∴直線AB的方程為：y=x-．
（2）與是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，由平面向量的基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ．使得成立．
設(shè)M（x，y），則（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂+y₂）．
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又M∈C，代入①式得（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展開(kāi)整理得λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…②
由AB的方程可知x₁x₂+3y₁y₂=
==3b²-9b²+6b²=0．
由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，所以x₁²+3y₁²=3b²．x₂²+3y₂²=3b²．
代入②式化簡(jiǎn)得λ²+μ²=1．
根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，總存在角θ，θ∈R使等式成立．
即：+sinθ成立．
綜上所述，對(duì)于任意一點(diǎn)M∈C，總存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．
點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生熟練運(yùn)用構(gòu)造角化簡(jiǎn)三角函數(shù)asinx+3bcosx，并熟練應(yīng)用直線與圓錐曲線相交弦問(wèn)題的解題方程，能夠靈活運(yùn)用設(shè)點(diǎn)法、韋達(dá)定理整體思想．簡(jiǎn)化運(yùn)算：熟練運(yùn)用平面向量基本定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算．考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．