Question

設(shè)0≤θ≤π，P=sin2θ+sinθ-cosθ
（1）若t=sinθ-cosθ，用含t的式子表示P；
（2）確定t的取值范圍，并求出P的最大值．

Answer 1

分析：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ，由此可得 P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 t=sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)，根據(jù)θ的范圍求得-1≤t≤

2

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出P的最大值．

解答：解：（1）由t=sinθ-cosθ，有t²=1-2sinθcosθ=1-sin2θ．∴sin2θ=1-t²，∴P=1-t²+t=-t²+t+1．
（2）由以上可得 t=sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)．
∵0≤θ≤π，∴-

π

4

≤θ-

π

4

≤

3π

4．

，∴-

1

2

≤sin(θ-

π

4

)≤1．
即t的取值范圍是-1≤t≤

2

．由于函數(shù)P(t)=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，在[-1，

1

2

]內(nèi)是增函數(shù)，
在[

1

2

，

2

]內(nèi)是減函數(shù)．
∴當(dāng) t=

1

2

時，P取得最大值是

5

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．