Question

設函數(shù)f（x）=x•e^kx（k≠0）（（e^kx）′=ke^kx）
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)f′（x），切線斜率為f′（0）=1，切點（0，0），由點斜式可求切線方程；
（2）f′（x）=（kx+1）e^kx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-

1

k

，分k＞0，k＞0兩種情況討論，在定義域內解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；

解答： 解：（1）f′（x）=e^kx+kxe^kx=（1+kx）e^kx（x∈R），且f′（0）=1，
∴切線斜率為1，
又f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y=0．
（2）f′（x）=（kx+1）e^kx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-

1

k

，
①若k＞0，當x∈（-∞，-

1

k

）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（-

1

k

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
②若k＜0，當x∈（-∞，-

1

k

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（-

1

k

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上所述，k＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，-

1

k

），單調遞增區(qū)間為（-

1

k

，+∞）；
k＜0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-

1

k

），單調遞減區(qū)間為（-

1

k

，+∞）；

點評：該題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬中檔題．