Question

已知△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0，∠A的角平分線所在的直線方程為y=0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．
（Ⅰ）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）又過點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M，N，求△MON的面積最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）列方程組

x-2y+1=0 y=0

求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直的條件求出BC、AB所在的直線方程，然后解方程組

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B的坐標(biāo)；
（II）若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，說明直線的斜率小于0，設(shè)出斜率根據(jù)直線過的C點(diǎn)，寫出直線方程，求出△AOB面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)A在BC邊上的高x-2y+1=0上，又在∠A的角平分線y=0上，所以解方程組

x-2y+1=0 y=0

得A（-1，0）．
∵BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0，
∴k_BC=-2，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），所以直線BC的方程為2x+y-4=0，
∵k_AC=-1，∴k_AB=-k_AC=1，所以直線AB的方程為x+y+1=0，
解方程組

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B（5，-6），
故點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（5，-6）．    
（Ⅱ）依題意直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-1）（k＜0），則M(

k-2

k

，0)，N(0，2-k)，所以S△MON=

1

2

•

k-2

k

•(2-k)=

1

2

(4-k-

4

k

)≥

1

2

[4+2

- 1 k •(-4k)

]=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，所以（S_△AOB）_min=4，此時(shí)直線l的方程是2x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角形面積的最小值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．