Question

16．如圖，AB為圓0的直徑，C是圓上一點，∠ACB的平分線與圓O和AB的交點分別為D，E，點P為AB延長線上一點，且PC=PE．
（I）試判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系．并說明理由；
（Ⅱ）若AB=10，BC=6，試求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，由CE平分∠ACB得∠ACE=∠BCE，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，則∠EAC=∠PCB，由AB為⊙O的直徑得∠BAC+∠ABC=90°，加上∠ABC=∠OCB，則∠BAC+∠OCB=90°，所以∠PCB+∠OCB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線PC與⊙O相切；
（2）求出AC，利用角平分線的性質(zhì)，即可求出BE．

解答 解：（I）直線PC與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
而∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC=∠PCB，
∴AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC⊥OC
∴直線PC與⊙O相切；
（2）∵AB為圓0的直徑，C是圓上一點，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵CE平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴BE=$\frac{30}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．