Question

17．下列是有關(guān)三角形ABC的幾個(gè)命題，
①若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；
②若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
③若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，則△ABC是等腰三角形；
④若cosA=sinB，則△ABC是直角三角形； 
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． .1
• B． .2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)兩角和差的正切公式進(jìn)行判斷．②根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．③根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用去判斷．④根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．

解答 解：①∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，故①正確；
②∵sin2A=sin2B
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0
∴A+B=$\frac{π}{2}$或A=B，
若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形或是直角三角形；故②錯(cuò)誤
③若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
則（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{AC}$|²=0，
則|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²，即|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
則AB=AC，則△ABC是等腰三角形；正確，故③正確，
④若cosA=sinB，則sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}-A$），∴$B=\frac{π}{2}-A或B+\frac{π}{2}-A=π$，
即A+B=$\frac{π}{2}$或B-A=$\frac{π}{2}$，則△ABC不一定為直角三角形，故④錯(cuò)誤，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角形形狀的判斷，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角公式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)算公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．