Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x-2

3

sin2x+

3

+1
（1）求f（x）的最小正周期及其單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的正確，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）結(jié)合x的范圍求出2x+

π

3

的范圍，通過(guò)正弦函數(shù)的值域求解f（x）的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=sin2x-2

3

sin2x+

3

+1
=sin2x+

3

cos2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1．
所以函數(shù)的最小正周期是

2π

2

=π．
2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ+

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
（2）因?yàn)?span id="euwnj2k" class="MathJye">x∈[-

π

6

，

π

6

]，所以2x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，
2sin（2x+

π

3

）+1∈[1，3]．
所以f（x）的值域?yàn)閇1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式的應(yīng)用，兩角和與差的正弦函數(shù)以及性質(zhì)，考查計(jì)算能力．