Question

已知函數(shù)f（x）=x

1-2x

．
（1）求x₀，使f′（x₀）=0；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）求導數(shù)f′（x），解方程f′（x₀）=0即可；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，在區(qū)間[-1，

1

2

]端點處的函數(shù)值，由此求得最大值、最小值，從而得到值域；

解答：解：（1）f′（x）=

1-2x

-

x

1-2x

=

1-3x

1-2x

，
所以f′（x₀）=

1-3x0

1-2x0

=0，則x0=

1

3

．
（2）當（-1，

1

3

）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當x∈(

1

3

，

1

2

)時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；          
f（-1）=-

3

，f（

1

3

）=

3

9

，f（

1

2

）=0，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的最大值為

3

9

，最小值為-

3

，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]的值域為[-

3

，

3

9

]．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．