Question

如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4；將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）若點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，求直線AF與平面ADE所成角正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，從而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能夠證明ED⊥AB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D為原點(diǎn)，以DB為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面ADE所成角正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD為平行四邊形，
且∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°，
∴BD=

4+16-2×2×4× 1 2

=2

3

，
∴AB²+BD²=AD²，∴∠ABD=90°，
∵將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，
∴∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，
∴平面EBD⊥平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，∴ED⊥AB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，
∴∠BDC=90°，故以D為原點(diǎn)，以DB為x軸，
以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=

16-4

=2

3

，
則B（2

3

，0，0），E（0，0，2），∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴F（

3

，0，1），
A（2

3

，-2，0），D（0，0，0），
∴

AF

=（-

3

，2，1），

DA

=（2

3

，-2，0），

DE

=（0，0，2），
設(shè)平面DAE的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

DA

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2 3 x-2y=0 2z=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
設(shè)直線AF與平面ADE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

- 3 +2 3 +0

8 • 4

|=

6

8

直線AF與平面ADE所成角正弦值為

6

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．