Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求m的值，并用分段函數(shù)的形式來表示f（x）；
（Ⅱ）在圖給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）的草圖；
（ III）由圖象寫出函數(shù)f（x）的奇偶性及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用f（1）=0，在函數(shù)f（x）=x|x-m|的解析式中令x=1，即可求出m的值，再利用零點(diǎn)分段表示，我們分析求出x＜1和x≥1時(shí)，函數(shù)的解析式，進(jìn)而可以用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；
（II）根據(jù)分段函數(shù)分段畫的原則，我們根據(jù)（I）的解析式，分別畫出x＜1和x≥1時(shí)，函數(shù)的圖象，綜合后即可得到該函數(shù)的圖象；
（III）根據(jù)（II）中函數(shù)的圖象，奇偶性，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于縱軸對(duì)稱．單調(diào)增區(qū)間看上升趨勢，單調(diào)減區(qū)間看下降趨勢．

解答：解：（I）∵f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0，
∴f（1）=|1-m|=0，m=1
∵f（x）=x|x-1|（x∈R），
∴f（x）=

x2-x，x≥1 -x2+x，x＜1

，
（II）由（I）可得函數(shù)的圖象如下圖所示：

（III）由圖可得，該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：單調(diào)增區(qū)間有（-∞，-

1

2

]，[1，+∞）

單調(diào)減區(qū)間[

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，研究其圖象和性質(zhì)．還考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方法．