Question

已知集合A={x∈R|x²-（a+4）x+4）=0}，函數(shù)y=3^x的值域?yàn)锽，若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)y=3^x的值域B，依題意知，方程x²-（a+4）x+4）=0無(wú)正實(shí)數(shù)解，通過(guò)對(duì)△＜0、△=0及△＞0的討論，即可求得a的取值范圍．

解答：解：∵集合B是y=3^x的值域，
∴B=（0，+∞），
又A∩B=∅，
∴方程x²-（a+4）x+4）=0無(wú)正實(shí)數(shù)解．
又△=（a+4）²-16=a（a+8），
①當(dāng)△＜0，即-8＜a＜0時(shí)，A=∅，顯然有A∩B=∅，
②當(dāng)△=0，a=0或a=-8；
a=0時(shí)方程的解x=2不滿足；a=-8時(shí)方程的解x=-2滿足；
③當(dāng)△＞0時(shí)，a＜-8或a＞0，此時(shí)方程的解x=

a+4± a2+8a

2

，
當(dāng)a＞0是，顯然

a+4± a2+8a

2

均是正數(shù)，不滿足題意；
當(dāng)a＜-8時(shí)，a+4＜-4，

a2+8a

＜

a2+8a+16

=|a+4|，
∴較大的根x=

a+4+ a2+8a

2

＜

a+4+|a+4|

2

=

a+4-a-4

2

=0，
∴a＜-8時(shí)，A∩B=∅．
綜上：a∈（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，著重考查二次方程根的討論，屬于中檔題．