Question

7．設(shè)a，b，c，d都是奇數(shù)，0＜a＜b＜d，并且ad=bc，a+d=2^k，b+c=2^m，k，m∈N，證明：a=1．

Answer 1

分析 利用作差法證明a+d＞b+c，即2^k＞2^m，得到k＞m，再由ad=bc，得到a（2^k-a）=b（2^m-b），2^m（b-2^k-ma）=b²-a²=（b+a）（b-a），可知2^m整除（b+a）（b-a），但b+a，b-a不能都被4整除，進一步得到2^m-1必整除b+a或b-a之一，結(jié)合a，b是奇數(shù)，它們的公約數(shù)也是奇數(shù)，且是b+a與b-a的因數(shù)，從而是2^m-1的奇因數(shù)，即為1，可得a與b互質(zhì)，a與c也互質(zhì)，再由ad=bc，知a能整除bc，證得a=1．

解答 證明：∵a[（a+d）-（b+c）]=a²+ad-ab-ac=a²+bc-ab-ac
=（a-b）（a-c）＞0，
∴a+d＞b+c，即2^k＞2^m，則k＞m，
又由ad=bc，有a（2^k-a）=b（2^m-b），
又2^m（b-2^k-ma）=b²-a²=（b+a）（b-a），
可知2^m整除（b+a）（b-a），但b+a，b-a不能都被4整除（因為它們的和是2b，而2b是奇數(shù)），
∴2^m-1必整除b+a或b-a之一，
∵a，b是奇數(shù)，它們的公約數(shù)也是奇數(shù)，且是b+a與b-a的因數(shù)，從而是2^m-1的奇因數(shù)，即為1，
∴a與b互質(zhì)，同理a與c也互質(zhì)，但由ad=bc，知a能整除bc，故a=1．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力和推理運算能力，難度較大．