Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a（x∈R）．
（1）若f（x）有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)最大值為2求得a的值．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ求得x的范圍，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）有最大值，
即x=

π

6

+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）有最大值為3+a，
∴3+a=2，解得a=-1．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理．