Question

直線x+y+m=0（m＞0）與圓x²+y²=2交于不同的兩點A、B，O是坐標(biāo)原點且|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)AB線段的中點為C，可得2|

OC

|≥|

AB

|，可得1≤OC＜2，利用圓心到直線的距離公式列出關(guān)于m的不等關(guān)系，求解即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵直線x+y+m=0與圓x²+y²=4交于不同的兩點A，B，
故AB為圓的一條弦，且圓心O（0，0），半徑r=2，
設(shè)線段AB的中點為C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得2|

OC

|≥|

AB

|，
所以|

OC

|≥

1

2

|

AB

|=AC，|，∴∠AOC≤45°，∠AOB≤90°．
當(dāng)∠AOB=90° 時，|AB|=

2

R=2，圓心到直線的距離|OC|=1，
故當(dāng)∠AOB≤90°時，由題意可得 
可得1≤OC＜

2

，
即1≤

|0+0+m|

2

＜

2

，
解得

2

≤|m|＜2，
解得實數(shù)m的取值范圍是（-2，-

2

]∪[

2

，2）．
故答案為：（-2，-

2

]∪[

2

，2）．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及向量的加法，關(guān)鍵是將|

OA

+

OB

|≥|

AB

|轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，屬于中檔題．