Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線為l：3x-y+1=0，且x=-2時(shí)，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）將x=1代入切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），由f′（1）=3，f′（-2）=0，f91）=4可得方程組，解出即得a，b，c；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出區(qū)間[-3，0]內(nèi)的極值與端點(diǎn)處函數(shù)值，然后進(jìn)行大小比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值；

解答：解：（1）切線l的斜率k=3，f'（x）=3x²+2ax+b，將x=1代入切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），
根據(jù)題意可聯(lián)立得方程 

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 12-4a+b=0

，解得 

a=2 b=-4 c=5

；
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，∴f'（x）=3x²+4x-4
令f'（x）=0，得x=-2或x=

2

3

．
極值點(diǎn)x=

2

3

不屬于區(qū)間[-3，0]，舍去．
分別將x=-3，-2，0代入函數(shù)y=f（x）得，
f（-3）=（-3）³+2•（-3）²-4•（-3）+5=8，f（-2）=（-2）³+2•（-2）²-4•（-2）+5=13，f（0）=5，
∴y_max=13，y_min=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的能力．