Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f(x)≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，f（x）的表達(dá)式；
（3）設(shè)g(x)=f(x)-

m

2

x，x∈[0，+∞），若g（x）圖上的點(diǎn)都位于直線y=

1

4

的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知f（2）≥2恒成立，又由f(x)≤

1

8

(x+2)2成立得（2）≤

1

8

(2+2)2=2，由此兩種情況可得f（2）=2．
（2）f（-2）=0，由（1）證明知f（2）=2，f（x）的表達(dá)式中有三個(gè)未知數(shù)，由兩函數(shù)值只能得出兩個(gè)方程，再對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關(guān)系得到一(4a-

1

2

)2≤0，由此可以得到a=

1

8

，將此三方程聯(lián)立可解出三個(gè)參數(shù)的值，求出f（x）的表達(dá)式；
（3）方法一：由題f（x）圖象（在y軸右側(cè)）總在直線y=

m

2

x+

1

4

上方即可，也就是直線的斜率

m

2

小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，由于f（x）圖象與y軸交點(diǎn)在直線y=

m

2

x+

1

4

與y軸交點(diǎn)上方，在與y軸相交點(diǎn)處的切線斜率為

1

2

，故在直線與二次函數(shù)相切的切點(diǎn)處一定有切線的斜率大于直線的斜率

m

2

，且

m

2

＞

1

2

，將兩個(gè)方程聯(lián)立，用判別式為0求m的最大值．
方法二：g(x)=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在x∈[0，+∞)必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸在x∈[0，+∞）無(wú)交點(diǎn)的問(wèn)題，由于g（x）的單調(diào)性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，此時(shí)需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對(duì)稱軸小于0，且x=0處的函數(shù)值大于等于0，轉(zhuǎn)化出相應(yīng)的不等式求解．

解答：解：（1）由條件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2時(shí)，f(2)=4a+2b+c≤

1

8

(2+2)2=2與恒成立，
∴f（2）=2．
（2）∵

4a+2b+c=2 4a-2b+c=0

∴4a+c=2b=1，
∴b=

1

2

，c=1-4a
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（

1

2

-1）x+1-4a≥0恒成立．
∴a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a(1-4a)≤0，整理得(4a-

1

2

)2≤0
故可以解出：a=

1

8

，b=

1

2

，c=

1

2

，
∴f(x)=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

．
（3）解法1：由分析條件知道，只要f（x）圖象（在y軸右側(cè)）總在直線y=

m

2

x+

1

4

上方即可，也就是直線的斜率

m

2

小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，
于是：

y= 1 8 x2+ 1 2 x+ 1 2 y= m 2 x+ 1 4

∴m∈(-∞，1+

2

2

)．
解法2：g(x)=

1

8

x2+(

1

2

-

m

2

)x+

1

2

＞

1

4

在x∈[0，+∞)必須恒成立，
即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
①△＜0，即[4（1-m）]²-8＜0，解得：1-

2

2

＜m＜1+

2

2

；
②

△≥0 -2(1-m)≤0 f(0)=2＞0

解出：m≤1-

2

2

．又m=1-

2

2

時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證不合題意
總之，m∈(-∞，1+

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的一道綜合題，考查到了分類討論的思想，對(duì)分析轉(zhuǎn)化的推理能力要求較高．