Question

2．若0＜a＜2，0＜b＜2，則函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\sqrt{a}{x^2}+2bx-3$存在極值的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，由函數(shù)存在極值，則f′（x）=0，存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△＞0，求得a＞2b，求得陰影部分的面積，利用幾何概型概率公式，即可求得答案．

解答 解：由數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\sqrt{a}{x^2}+2bx-3$，求導(dǎo)，f′（x）=x²+2$\sqrt{a}$+2b，
由函數(shù)存在極值．則方程x²+2$\sqrt{a}$+2b=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
△=4a-4×2b＞0，即a＞2b，

∴由題意可知陰影部分的面積S₁=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
a，b所圍成圖形的面積S=2×2=4，
∴存在極值的概率S=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何概型概率公式，極值存在的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．