Question

已知函數(shù)m（x）=lnx，h（x）=-

1

6

x3+ax-

4

3

，a∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x），當(dāng)a=

3

2

時(shí)，求f（x）在[1，+∞）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

n

k=1

(

6k2-3k-1

6k3

)＜ln(n+1)，n∈N*．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=

3

2

時(shí)，f（x）=lnx+

1

6

x3-

3

2

x+

4

3

，求f′（x），判斷f′（x）的符號(hào)，即可判斷f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）在[1，+∞）的最小值f（1）=0；
（Ⅱ）f（x）=lnx+

1

6

x3-ax+

4

3

，f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，即說明f′（x）=

1

x

+

1

2

x2-a=0有解，即

1

x

+

1

2

x2=a有解，根據(jù)基本不等式

1

x

+

1

2

x2=

1

2x

+

1

2x

+

1

2

x2≥

3

2

，所以a≥

3

2

，而由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以a＞

3

2

；
（Ⅲ）通過觀察不等式的形式，可以想著用（Ⅰ）的結(jié)論：f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=lnx-（-

1

6

x3+

3

2

x-

4

3

）＞0，即-

1

6

x3+

3

2

x-

4

3

＜lnx，所以令x=

n+1

n

帶入即得

6n2-3n-1

6n3

＜ln(

n+1

n

)，所以對(duì)不等式進(jìn)行從1到n求和之后即可得到該問的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）a=

3

2

時(shí)，f（x）=lnx+

1

6

x3-

3

2

x+

4

3

，f′（x）=

1

x

+

1

2

x2-

3

2

=

(x-1)2(x+2)

2x

；
∵x≥1，∴f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值是f（1）=0；
（Ⅱ）f（x）=lnx+

1

6

x3-ax+

4

3

，f′（x）=

1

x

+

1

2

x2-a，則方程

1

x

+

1

2

x2-a=0有解，即

1

x

+

1

2

x2=a有解；
又

1

x

+

1

2

x2=

1

2x

+

1

2x

+

1

2

x2≥3

3	( 1 2 )3

=

3

2

；
∴a≥

3

2

；
由（Ⅰ）知a=

3

2

時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以a＞

3

2

；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

3

2

，+∞)；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=lnx-（-

1

6

x3+

3

2

x-

4

3

）＞0；
即-

1

6

x3+

3

2

x-

4

3

＜lnx，取x=

n+1

n

，n∈N*，則：
-

1

6

(

n+1

n

)3+

3

2

•

n+1

n

-

4

3

=

6n2-3n-1

6n3

＜ln

n+1

n

；
∴

n

k=1

(

6k2-3k-1

6k3

)＜ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）；
即

n

k=1

(

6k2-3k-1

6k3

)＜ln(n+1)．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值，以及基本不等式：a+b+c≥3

3	abc

，a，b，c＞0．