Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

7

6

，點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的圖象上：
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=（a_n-

2

3

）n，T_n為c_n的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知代入可得，Sn+1=

1

2

(2Sn+an)+

1

3

，利用a_n+1=S_n+1-S_n可得數(shù)列的項之間的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解通項
（2）由（1）可求 c_n=（a_n-

2

3

）n=

n

2n

，結(jié)合數(shù)列的通項的特點，考慮利用錯位相減求和即可

解答：解：（1）解∵點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的圖象上
∴Sn+1=

1

2

(2Sn+an)+

1

3

即Sn+1-Sn=

1

2

an+

1

3

∴an+1=

1

2

an+

1

3

∴an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)
∴{an-

2

3

}是以a1-

2

3

=

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1
∴an=

2

3

+(

1

2

)n
（2）∵c_n=（a_n-

2

3

）n=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

 …①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

．②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式及數(shù)列的錯位相減求和方法的應(yīng)用，而錯位相減的求和方法是數(shù)列求和方法中非常重要的方法，要注意掌握