Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=2x+1，當(dāng)x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）時(shí)，f（x）為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令bn=

1

an•an+1

，記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜

1

10

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（0）=0求得c，進(jìn)而對(duì)函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，進(jìn)而求得b和a．
（2）先根據(jù)題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進(jìn)而求得 a_n+1兩式相減可推斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求和進(jìn)行放縮即得．

解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）當(dāng)x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）時(shí)，f（x）為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a_n．
∴a₁=5，
∵f（x）在x∈[n，n+1]上單調(diào)遞增，
∴a_n=f（n+1）-f（n）+1=2n+3．
（3）b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+3

-

1

2n+5

），
{b_n}的前n項(xiàng)和 S_n=

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

-

1

2n+5

）=

1

2

（

1

5

-

1

2n+5

）＜

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和用裂項(xiàng)法數(shù)列求和．高考中數(shù)列題往往與不等式、函數(shù)等知識(shí)綜合考查，屬于中檔題．