如圖所示，△ABC是邊長為1的正三角形，且點P在邊BC上運動．當(dāng)
PA
•
PC
取得最小值時，則cos∠PAB的值為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，A(0，
3
2
)，B（-
1
2
，0），C(
1
2
，0)．設(shè)P（x，0），(-
1
2
≤x≤
1
2
)．利用數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性可得
PA
•
PC
(-x，
3
2
)•(
1
2
-x，0)=x2-
1
2
x=(x-
1
4
)2-
1
16
．當(dāng)x=
1
4
時，當(dāng)
PA
•
PC
取得最小值．再利用向量的夾角公式即可得出．
解答： 解：如圖所示，
A(0，
3
2
)，B（-
1
2
，0），C(
1
2
，0)．
設(shè)P（x，0），(-
1
2
≤x≤
1
2
)．
∴
PA
•
PC
(-x，
3
2
)•(
1
2
-x，0)=x2-
1
2
x=(x-
1
4
)2-
1
16
．
當(dāng)x=
1
4
時，當(dāng)
PA
•
PC
取得最小值．
此時
AP
=(
1
4
，-
3
2
)，
AB
=(-
1
2
，-
3
2
)，
AP
•
PB
=-
1
8
+
3
4
=
5
8
，
|
AP
|=
(
1
4
)2+(-
3
2
)2
=
13
4
，
∴cos∠PAB=
AP
•
AB
|
AP
| |
AB
|
=
5
8
13
4
=
5
13
26
．
故答案為：
5
13
26
．
點評：本題考查了數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性、向量的夾角公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面，點C為
AB
上的點，點M為BC中點．
（1）求證：B1M∥平面O1AC；
（2）若2r=AB=AA1，∠CAB=30°，求三棱錐A到平面O1BM的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）與拋物線y2=2px（p＞0）的交點為A、B，A、B連線經(jīng)過拋物線的交點F，且線段AB的長等于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=5，|
b
|=4，
a
•
b
=-15，則向量
b
與向量
a
的夾角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x＞0，y＞0，且x+2y+xy=30，則xy的最大值
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=
2
，|
b
|=1，且
a
與
b
的夾角為45°，則
a
•
b
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
，1），且單位向量
b
與
a
的夾角為60°，則
b
的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線ρsin（θ+
π
3
）=0與曲線
x=
1
a
(t+
1
t
)
y=t-
1
t
（t為參數(shù)）無交點，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，則（1-i）（2+i）=（　�。�
A、-3-iB、3-i
C、-3+iD、3+i

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同步練習(xí)冊答案