Question

【題目】函數(shù) f（x）=2x﹣ 的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）顯然函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)? ；

（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，則：f'（x）=2+0aa--2x2在定義域上恒成立

而﹣2x2∈[﹣2，0）

∴a≤﹣2

（II）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，

當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2﹣a；

由（2）得當(dāng)a≤﹣2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，

當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2﹣a；

當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，

當(dāng) 時(shí)取得最小值

【解析】（1）a=﹣1時(shí)，函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像可直接寫(xiě)出函數(shù)的值域.
（2）函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，則 f '( x ) 0，再進(jìn)行分離變量進(jìn)行求解.
（3）對(duì)a進(jìn)行分情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值.

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．