Question

（2012•浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤ 1

，且f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））．則滿足方程f₂（x）=x的根的個(gè)數(shù)為（　　）

A．0個(gè)

B．2個(gè)

C．4個(gè)

D．6個(gè)

Answer 1

分析：要求方程f₂（x）=x的根的個(gè)數(shù)，只要確定f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））的解析式，因此需要討論；（1）

0≤x≤ 1 2 0≤2x≤ 1 2

（2）

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜2x≤1

（3）

1 2 ＜x＜1 1 2 ＜2-2x＜1

（4）

1 2 ＜x＜1  0≤2-2x≤ 1 2

，分別求出對(duì)應(yīng)解析式，建立方程求解即可

解答：解；（1 ）當(dāng)

0≤x≤ 1 2 0≤2x≤ 1 2

即0≤x≤

1

4

時(shí)，時(shí)，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
由4x=x可得，x=0
（2）當(dāng)

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜2x≤1

即

1

4

＜x≤

1

2

時(shí)，f₁（x）=f（x）=2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-4x，
由2-4x=x可得，x=

2

5

（3）當(dāng)

1 2 ＜x＜1 1 2 ＜2-2x＜1

即

1

2

＜x＜

3

4

時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2-2x）=2-2（2-2x）=4x-2
由4x-2=x可得，x=

2

3

（4）

1 2 ＜x＜1  0≤2-2x≤ 1 2

即

3

4

≤x＜1，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2-2x）=2（2-2x）=4-4x
由4-4x=x可得x=

4

5

綜上可得，x=0，x=

2

5

，x=

2

3

，x=

4

5

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)解析式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是需要根據(jù)不同的x確定f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））的解析式