Question

17．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，離心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過左焦點F₁且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與橢圓交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設出橢圓方程，結合已知列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求出兩交點的橫坐標的和與積，代入弦長公式得答案．

解答 解：（I）由題意設橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由已知得：a+c=3，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由已知得直線l的方程為y=x+1，
與橢圓方程聯(lián)立，可得7x²+8x-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4•（-\frac{8}{7}）}=\frac{24}{7}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查弦長公式的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．