Question

(1-x)4(1-

x

)3的展開(kāi)式中x²的系數(shù)是

-6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得（1-x）⁴與（1-

x

）³的展開(kāi)式的通項(xiàng)，由因式乘法法則分析可得要使(1-x)4(1-

x

)3的展開(kāi)式中出現(xiàn)x²項(xiàng)，有2種情況，①（1-x）⁴中出x²項(xiàng)，（1-

x

）³中出常數(shù)項(xiàng)，②（1-x）⁴中出x項(xiàng)，（1-

x

）³中出x項(xiàng)即

x

的平方項(xiàng)，由二項(xiàng)式定理分別求出其系數(shù)，進(jìn)而將其相加可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，（1-x）⁴的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₄^r（-x）^r=（-1）^rC₄^r x^r，
（1-

x

）³的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₃^r（-

x

）^r=（-1）^rC₄^r

x

^r，
要使(1-x)4(1-

x

)3的展開(kāi)式中出現(xiàn)x²項(xiàng)，有2種情況，
①（1-x）⁴中出x²項(xiàng)，（1-

x

）³中出常數(shù)項(xiàng)，其系數(shù)為（-1）²C₄²×（-1）⁰C₃⁰

x

⁰=6，
②（1-x）⁴中出x項(xiàng)，（1-

x

）³中出x項(xiàng)即

x

的平方項(xiàng)，其系數(shù)為（-1）¹C₄¹×（-1）¹C₃¹

x

⁰=-12，
則其展開(kāi)式中x²的系數(shù)是6-12=-6；
故答案為-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由因式乘法的運(yùn)算法則，分析出得到x²項(xiàng)的情況．