Question

（2013•寧德模擬）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

（n∈N⁺）．
（Ⅰ）設b_n=

1

an

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n=

an

n+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和s_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列的定義證明即可；
（II）求出a_n，再求出C_n，利用裂項相消法求S_n．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=

an

an+1

⇒

1

an+1

-

1

an

=1，bn=

1

an

，
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（II）由（I）知b_n=n，a_n=

1

n

，
∴C_n=

an

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=C₁+C₂+…+C_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查等差數(shù)列、數(shù)列求和等基礎知識；考查推理論證及運算求解能力．