規(guī)定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
,其中x∈R,m是正整數(shù),且C0x=1,這是組合數(shù)Cmn(n、m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求C3-15的值;
(2)設x>0,當x為何值時,
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值?
(3)組合數(shù)的兩個性質(zhì);
①Cmn=Cn-mm. ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1
是否都能推廣到Cmx(x∈R,m是正整數(shù))的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.
變式:規(guī)定Axm=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m為正整數(shù),且Ax0=1,這是排列數(shù)Anm(n,m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求A-153的值;
(2)排列數(shù)的兩個性質(zhì):①Anm=nAn-1m-1,②Anm+mAnm-1=An+1m.(其中m,n是正整數(shù))是否都能推廣到Axm(x∈R,m是正整數(shù))的情形?若能推廣,寫出推廣的形式并給予證明;若不能,則說明理由;
(3)確定函數(shù)Ax3的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)根據(jù)所給的組合數(shù)的推廣式子,把組合數(shù)中的數(shù)字代入公式,寫出公式的表示式,最后做出結果.
(2)根據(jù)組合數(shù)的推廣式子,寫出要求的結果,約分化簡成最簡形式,根據(jù)基本不等式求出式子的最小值,并求出取到最小值時對應的x的值.
(3)由題意知第一個性質(zhì)不能推廣,第二個式子能夠推廣,第一個性質(zhì)只要舉出反例就能夠推翻,第二個式子可以進行證明,寫出組合數(shù)的表示形式,化簡整理,得到等式成立.
變式(1)根據(jù)所給的排列數(shù)的推廣式子,把組合數(shù)中的數(shù)字代入公式,寫出公式的表示式,最后做出結果
(2)兩個式子都能夠推廣,分別證明兩個性質(zhì)是成立的,當n=1時,驗證式子左右兩邊相等,當n不小于2時根據(jù)推廣的排列數(shù)公式證明,得到結論成立.
(3)根據(jù)排列數(shù)公式,寫出排列數(shù)的代數(shù)形式,本題是一個關于自變量的3次函數(shù),要求單調(diào)區(qū)間需要對函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)與零的關系得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)
C
3
-15
=
(-15)(-16)(-17)
3!
=-680

(2)
C
3
x
(
C
1
x
)
2
=
x(x-1)(x-2)
6x2
=
1
6
(x+
2
x
-3)

∵x>0,x+
2
x
≥2
2

當且僅當x=
2
時,等號成立.
∴當x=
2
時,
C
3
x
(
C
1
x
)
2
取得最小值.
(3)性質(zhì)①不能推廣,例如當x=
2
時,
C
1
2
有定義,但
C
2
-1
2
無意義;
性質(zhì)②能推廣,它的推廣形式是Cxm+Cxm-1=Cx+1m,m是正整數(shù).
事實上,當m=1時,有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11
當m≥2時.
C
m
x
+
C
m-1
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
+
x(x-1)…(x-m-2)
(m-1)!

=
x(x-1)…(x-m+2)
(m-1)!
[
x-m+1
m
+1]
=
x(x-1)…(x-m+2)(x+1)
m!
=
C
m
x+1


變式:解:(Ⅰ)A-153=(-15)(-16)(-17)=-4080;
(Ⅱ)性質(zhì)①、②均可推廣,推廣的形式分別是:
①Axm=xAx-1m-1,②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+
事實上,在①中,當m=1時,左邊=Ax1=x,右邊=xAx-10=x,等式成立;
當m≥2時,左邊=x(x-1)(x-2)(x-m+1)
=x[(x-1)(x-2)((x-1)-(m-1)+1)]=xAx-1m-1
因此,①Axm=xAx-1m-1成立;
在②中,當m=1時,左邊=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右邊,等式成立;
當m≥2時,
左邊=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-m+2)
=x(x-1)(x-2)(x-m+2)[(x-m+1)+m]=(x+1)x(x-1)(x-2)[(x+1)-m+1]=Ax+1m=右邊,
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+)成立.
(Ⅲ)先求導數(shù),得(Ax3)′=3x2-6x+2.
令3x2-6x+2>0,解得x<
3-
3
3
或x>
3+
3
3

因此,當x∈(-∞,
3-
3
3
)
時,函數(shù)為增函數(shù),
x∈(
3+
3
3
,+∞)
時,函數(shù)也為增函數(shù).
令3x2-6x+2<0,解得
3-
3
3
<x<
3+
3
3

因此,當x∈(
3-
3
3
,
3+
3
3
)
時,函數(shù)為減函數(shù).
所以,函數(shù)Ax3的增區(qū)間為(-∞,
3-
3
3
)
(
3+
3
3
,+∞)

函數(shù)Ax3的減區(qū)間為(
3-
3
3
,
3+
3
3
)
點評:本題考查組合數(shù)和排列數(shù)的公式的推廣,考查排列數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)在推廣以后是否適用,考查利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式求解題的數(shù)值,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,本題是一個綜合題目,也是一個易錯題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

規(guī)定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
,其中x∈R,m是正整數(shù),且Cx0=1,這是組合數(shù)Cnm(n、m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1) 求C-155的值;
(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì):①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m.是否都能推廣到Cxm(x∈R,m是正整數(shù))的情形?
若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

規(guī)定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
,其中x∈R,m是正整數(shù),且
C
0
x
=1
,這是組合數(shù)
C
m
n
(n、m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求
C
3
-15
的值;
(2)設x>0,當x為何值時,
C
3
x
(
C
1
x
)
2
取得最小值?
(3)組合數(shù)的兩個性質(zhì);①
C
m
n
=
C
n-m
n
;②
C
m
n
+
C
m-1
n
=
C
m
n+1
.是否都能推廣到
C
m
x
(x∈R,m是正整數(shù))的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

規(guī)定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
,其中x∈R,m是正整數(shù),且CX0=1.這是組合數(shù)Cnm(n,m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求C-153的值;
(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì):①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推廣到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推廣,請寫出推廣的形式并給予證明;若不能請說明理由.
(3)已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù),證明:當x∈Z,m是正整數(shù)時,Cxm∈Z.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

規(guī)定
Cmx
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
,其中x∈R,m是正整數(shù),且CX0=1.這是組合數(shù)Cnm(n,m是正整數(shù),且m≤n)的一種推廣.
(1)求C-153的值;
(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì):①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推廣到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推廣,請寫出推廣的形式并給予證明;若不能請說明理由.
(3)已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù),證明:當x∈Z,m是正整數(shù)時,Cxm∈Z.

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