【題目】設(shè)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣7,﹣3]上是減函數(shù)且最大值為﹣5,函數(shù)g(x)= ,其中a< .
(1)判斷并用定義法證明函數(shù)g(x)在(﹣2,+∞)上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間[3,7]上的最小值.
【答案】
(1)解:函數(shù)g(x)在(﹣2,+∞)上是減函數(shù),
證明如下:
設(shè)﹣2<x1<x2,
∵g(x)=a+ ,
∴g(x2)﹣g(x1)
=(a+ )﹣(a+ )
=(1﹣2a) ,
∵﹣2<x1<x2,
∴ <0,
∵a< ,∴g(x2)<g(x1),
∴a< 時,g(x)在(﹣2,+∞)遞減;
(2)解:由題意得:f(x)max=f(﹣7)=﹣5,且f(x)是奇函數(shù),
∴f(7)=5,即f(x)在區(qū)間[3,7]上的最小值是5,
由(1)得:g(x)在[3,7]上也是減函數(shù),
∴F(x)min=f(7)+g(7)= .
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(2)分別求出f(x)和g(x)的最小值,求出F(x)的最小值即可.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的圓心M在x軸上,半徑為1,直線 ,被圓M所截的弦長為 ,且圓心M在直線l的下方. (Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(0,t),B(0,t+6)(﹣5≤t≤﹣2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮,這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快,二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為24m2 , 三月底測得覆蓋面積為36m2 , 鳳眼蓮覆蓋面積y(單位:m2)與月份x(單位:月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)與y=px +q(p>0)可供選擇. (Ⅰ)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;
(Ⅱ)求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.
(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè), =2(其中O為坐標(biāo)原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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【題目】已知向量 =(cosx+sinx,1), =(cosx+sinx,﹣1)函數(shù)g(x)=4 .
(1)求函數(shù)g(x)在[ , ]上的值域;
(2)若x∈[0,2016π],求滿足g(x)=0的實數(shù)x的個數(shù);
(3)求證:對任意λ>0,都存在μ>0,使g(x)+x﹣4<0對x∈(﹣∞,λμ)恒成立.
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【題目】若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,0]上是減函數(shù),α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,且α≠β,則下列不等式中正確的是( )
A.f(cosα)>f(cosβ)
B.f(sinα)<f(cosβ)
C.f(cosα)<f(sinβ)
D.f(sinα)>f(sinβ)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù) 的圖象,經(jīng)過下列哪個平移變換,可以得到函數(shù)y=5sin2x的圖象?( )
A.向右平移
B.向左平移
C.向右平移
D.向左平移
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【題目】已知橢圓C: =1(a>0,b>0)經(jīng)過點(﹣ , ).且離心率為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過橢圓C的左焦點F作兩條互相垂直的動弦AB與CD,記由A,B,C,D四點構(gòu)成的四邊形的面積為S,求S的最大值和最小值.
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