已知橢圓：（）的離心率，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓，圓心為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)圓與軸相切的時(shí)候，求的值；

（Ⅲ）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值。

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓的離心率

∴............................1分

解得............................2分

故橢圓的方程為.................3分

（Ⅱ）聯(lián)立方程可得：得.........................5分

即的坐標(biāo)分別為........................6分

∵圓的直徑為，且與軸相切

∴，得（∵）............8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

的面積......................9分

=1...................10分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.....................11分

故的面積的最大值為1..................12分

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用；基本不等式。

點(diǎn)評(píng)：充分理解圓C與y軸相切的含義是做本題的關(guān)鍵。要滿足圓C與y軸相切也就是滿足M點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)相等。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點(diǎn)，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點(diǎn)P，過(guò)P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓（），過(guò)橢圓中心O作互相垂直的兩條弦AC、BD，設(shè)點(diǎn)A、B的離心角分別為和，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷解析版） 題型：選擇題

已知橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為

（A）     （B） 

（C）     （D）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆福建省高二第一學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓E：的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心 率。過(guò)焦點(diǎn)F2且與軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)。

（1）求實(shí)數(shù)的值；  

（2）求DABO（O為原點(diǎn)）面積的最大值.

 

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已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點(diǎn)，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點(diǎn)P，過(guò)P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程．

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