Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點，連結(jié).由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點，又為中點，所以為中位線，所以 ∥所以 ∥平面

（Ⅱ）（Ⅲ）為線段中點

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點，連結(jié).由 是直三棱柱，

得四邊形為矩形，為的中點.

又為中點，所以為中位線，所以 ∥，    2分

因為 平面，平面，

所以 ∥平面.            4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.                          5分

，則.

所以 ， 

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得.            6分

易知平面的法向量為.

由二面角是銳角，得 .

所以二面角的余弦值為.          8分

（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點.

因為在線段上，，，故可設(shè)，其中.

所以 ，.               9分

因為與成角         10分

所以，解得，舍去.

所以當(dāng)點為線段中點時，與成角.             12分

考點：空間線面平行的判定及二面角線線角的求解

點評：采用空間向量法求解立體幾何問題首先要找到直線的方向向量和平面的法向量，直線的方向向量和平面的法向量垂直時，直線與平面平行；求二面角可先求出法向量的夾角，求兩條異面直線所成角可首先求兩直線的方向向量所成角