Question

已知數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）已知數(shù)列{b_n}有求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）解：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），及a₄=15，知a₄=2a₃+1得a₃=7
同理得a₂=3，a₁=1------（3分）
（Ⅱ）證明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1）
所以，數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為a₁+1=2，公比為2的等比數(shù)列
所以，，
所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為------（3分）
（Ⅲ）解：∵，∴=
∴①②
由①-②錯(cuò)位相減得：
故：------（4分）
分析：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2），a₄=15，代入計(jì)算，可求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1），即可得到數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．