Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+++…+=n²+2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．若對(duì)任意n∈N^*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+++…+=n²+2n，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，a_n=（2n+1）•4^n-1，若存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，可得得（2r+1）（2t+1）4^r+t-2s=（2s+1）²，從而可得（r-t）²=0，與r≠t矛盾；
（3）同乘公比，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再分類討論，利用（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+++…+=n²+2n，①
∴a₁+++…+=（n-1）²+2（n-1）．    ②
①-②得：=2n+1，所以a_n=（2n+1）•λ^n-1，（n≥2）．
因?yàn)閍₁=3，所以a_n=（2n+1）•λ^n-1 （n∈N^*）． …（4分）
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，a_n=（2n+1）•4^n-1．
若存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，則[（2r+1）•4^r-1][（2t+1）•4^t-1]=（2s+1）²•4^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）4^r+t-2s=（2s+1）²．…（6分）
由奇偶性知r+t-2s=0，所以（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，即（r-t）²=0．
這與r≠t矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列．…（8分）
（3）S_n=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1．
當(dāng)λ=1時(shí)，S_n=3+5+7+…+（2n+1）=n²+2n．
當(dāng)λ≠1時(shí)，S_n=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1，
λS_n=3λ+5λ²+…+（2n-1）λ^n-1+（2n+1）λⁿ．
兩式相減可得（1-λ）S_n=3+2（λ+λ²+λ³++…+λ^n-1）-（2n+1）λⁿ=3+2×-（2n+1）λⁿ． …（10分）
要對(duì)任意n∈N^*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，
①當(dāng)λ=1時(shí)，左=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥2，結(jié)論顯然成立；
②當(dāng)λ≠1時(shí)，左=（1-λ）S_n+λa_n=3+2×-（2n+1）λⁿ+λa_n
=3+2×=-．
因此，對(duì)任意n∈N^*，都有≥•λⁿ恒成立．
當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，只要≥λⁿ對(duì)任意n∈N^*恒成立，只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．
因此，當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，結(jié)論成立．        …（14分）
當(dāng)λ≥2時(shí)，≥•λⁿ顯然不可能對(duì)任意n∈N^*恒成立．
當(dāng)1＜λ＜2時(shí)，只要≤λⁿ對(duì)任意n∈N^*恒成立，只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．
因此當(dāng)1＜λ≤時(shí)，結(jié)論成立．
綜上可得，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（0，]．      …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．