Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點分別為F₁、F₂、A、B為其左、右兩個頂點，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M，且∠MAB=30°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  21

  2

• B、

  21

  3

• C、

  19

  3

• D、

  19

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程和圓的方程，求出交點M，再由兩點的斜率公式，得到a，b的關系，再由離心率公式即可得到所求值．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=c²，
將直線y=

b

a

x代入圓的方程，可得，
x=

ac

a2+b2

=a（負的舍去），y=b，
即有M（a，b），又A（-a，0），
由于∠MAB=30°，則直線AM的斜率為k=

3

3

，
又k=

b

2a

，則3b²=4a²=3（c²-a²），
即有3c²=7a²，
則離心率e=

c

a

=

21

3

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查直線和圓的位置關系，直線的斜率公式，考查離心率的求法，屬于基礎題．