Question

設(shè)a、b、c都是整數(shù)，過圓x²+y²=（3a+1）²外一點(diǎn)P（b³-b，c³-c）向圓引兩條切線，試證明：過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)都不是格點(diǎn)（所謂格點(diǎn)是指：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）．

Answer 1

∵P（b³-b，c³-c），O（0，0），
∴線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

（b³-b），

1

2

（c³-c）），
∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為：[x-

1

2

（b³-b）]²+[y-

1

2

（c³-c）]²=

1

4

（b³-b）²+

1

4

（c³-c）²，（1）
將x²+y²=（3a+1）²代入（1）得：（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，它就是過兩切點(diǎn)的直線方程，
假設(shè)此切線方程存在格點(diǎn)，
由b³-b=b（b-1）（b+1），得到它為三個(gè)連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，
同理，c³-c亦能被3整除，
∴（3a+1）²能被3整除，
∴3a+1也必須能被3整除，
顯然這是不可能的，
則過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)都不是格點(diǎn)．