Question

已知函數(shù)，其中a＞0，a，b∈R．
（1）當a，b滿足什么條件時，f（x）取得極值？
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，試用a表示b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)求導，由題意可得f′（x）=0有解，a＞0，根據(jù)二次方程的性質(zhì)可求解；
（2）f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可求解．
解答：解：（1）由已知得f′（x）=ax²+bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+bx+1=0，
f（x）要取得極值，方程ax²+bx+1=0，必須有解，
所以△=b²-4a＞0，即b²＞4a，
此時方程ax²+bx+1=0的根為：
x₁=，x₂=，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當a＞0時，

所以f（x）在x₁，x₂處分別取得極大值和極小值．
（2）要使f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，需使f′（x）=ax²+bx+1≥0在[1，2]上恒成立．
即b≥，x∈[1，2]恒成立，
所以b≥-（） max
設g（x）=，g′（x）=-a+=，
①當∈[1，2]時，即≤a≤1，g（x）=≤-2=-2，等號成立的條件是，
g（x）在[1，2]上的最大值g（）=-2，因此b≥-2，
②當＜1時，即a＞1時，g′（x）=-a+=，且g′（x）＜0，
因此g（x）在[1，2]上單調(diào)減，它的最大值g（1）=-a-1，因此b≥-a-1，
③當＞2時，即a＜時，g′（x）=-a+=，且g′（x）＞0，
因此g（x）在[1，2]上單調(diào)增，它的最大值g（2）=-2a-，因此b≥-2a-，
綜上，當≤a≤1時，b≥-2，當＜1時，b≥-a-1，當＞2時，b≥-2a-．
點評：本題考查了函數(shù)極值取得的條件，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題：由f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；反之函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用．