Question

如圖，直線l_l：y=2x與直線l₂：y=-2x之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為w，其左半部分記為w₁，右半部分記為W₂．
（1）分別用不等式組表示w₁和w₂：
（2）若區(qū)域W中的動點(diǎn)P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于4，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（3）設(shè)不過原點(diǎn)的直線l與曲線C相交于M_l，M₂兩點(diǎn)，且與l_l，l₂如分別交于M₃，M₄兩點(diǎn)．求證△OM_lM₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．
【三角形重心坐標(biāo)公式：△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x_l，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則△ABC的重心坐標(biāo)為（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）】

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可知W₁是直線y=2x和y=-2x左半部分之間的點(diǎn)的集合，W₂是y=2x和y=-2x左半部分之間的點(diǎn)的集合進(jìn)而可得答案．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)動點(diǎn)P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于4，建立等式，求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）先看當(dāng)直線l與x軸垂直時設(shè)直線l的方程為x=a，進(jìn)而求得M₁M₂，M₃M₄的中點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標(biāo)都為（

2a

3

，0），再看
直線l₁與x軸不垂直時，設(shè)出直線l的方程與P的軌跡方程聯(lián)立，消去y，判別式大于0，設(shè)M₁，M₂的坐標(biāo)，表示出x₁+x₂和y₁+y₂，設(shè)M₃，M₄的坐標(biāo)把直線y=2x和y=mx+n表示出x₃和x₄，求得x₃+x₄=x₁+x₂，進(jìn)而求得y₃+y₄=y₁+y₂，推斷出△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

解答：解：（1）由圖象可知W1：

y＜2x y＞-2x

，W2：

y＞2x y＜-2x

．
（2）由題意知，

|2x-y |

5

×

|2x+y|

5

=4得|

x2

5

-

y2

20

|=1，又P在W內(nèi)，故有

x2

5

-

y2

20

=1．
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時，可設(shè)直線l的方程為x=a（a≠O）．由于直線l，曲線C關(guān)于x軸
對稱，且ll₁與l₂關(guān)于x軸對稱，于是M₁M₂，M₃M₄的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標(biāo)都為（

2a

3

，0），即它們的重心重合．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=mx+n（n≠O），
由

4x2-y2=20 y=mx+n

，得（4-m²）x²-2mnx-n²-20=0，
由直線l與曲線C有兩個不同交點(diǎn)，可知4-m²≠0，且
△=（2mn）²+4（4-m²）（n²+20）＞0…（1分）
設(shè)M₁，M₂的坐標(biāo)分別為（x_l，y₁），（x₂，y₂）．
則x_l+x₂=

2mn

4-m2

，y₁+y₂═m （x_l+x₂）+2n
設(shè)M₃，M₄的坐標(biāo)分別為（x₃，x₄），（x₄，y₄）．
由

y=2x y=mx+n

與

y=-2x y=mx+n

，得x₃=

n

2-m

，x₃=

n

2+m

從而x₃+x₄=

2mn

4-m2

=x₁+x₂
所以y₃+y₄=m （x₃+x₄）+2n=m （x₁+x₂）+2n=y₁+y₂
所以

0+x1+x2

3

=

0+x 3+x4

3

，

0+y1+y2

3

=

0+y3+y4

3

于是AOM₁ M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析推理和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．