Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2x．
（1）求f（0）值；
（2）求此函數(shù)在R上的解析式；
（3）若對任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的特性，定義在R的奇函數(shù)必過原點，易得f（0）值；
（2）當(dāng)x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)f（-x）=-f（x）及當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2x，可得函數(shù)在x＜0時的解析式，進而得到函數(shù)在R上的解析式；
（3）根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而將原不等式變形，解不等式可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）為R上奇函數(shù)，所以f（0）=0．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x=-f（x），
∴x＜0時，f（x）=-x²+2x，
∴f(x)=

x2+2x，x≥0 -x2+2x，x＜0

．
（3）∵f（x）=x²+2x在（0，+∞）上為增函數(shù)，
且f（0）=0，f（x）為R上奇函數(shù)
∴f（x）在R上為增函數(shù)，
∴原不等式可變形為：t²-2t＜2t²-k，
對任意t∈R恒成立，
∴k＜（t²-2t）_min=-1
即實數(shù)k的取值范圍為（-∞，-1）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，及在對稱區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．