Question

（理）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，滿足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線交于Q，R兩點(diǎn)，當(dāng)

OQ

•

OR

=-

27

4

，2

PQ

=-

PR

時(shí)，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不妨設(shè)P為雙曲線上右支一點(diǎn)，根據(jù)

PF1

•

PF2

=0，可得

PF1

⊥

PF2

，所以|

PF1

|2+

|PF2

|2=4c2，又因?yàn)?span id="l5h2ez7" class="MathJye">|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a．所以|

PF2

|=2a，|

PF1

|=4a，故可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）不妨設(shè)P為雙曲線上右支一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x，y），（y＞0）則根據(jù)第二定義可得

2a

x- a2 c

=

c

a

，從而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得b=2a，設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），根據(jù)雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x=±2x，過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線交于Q，R兩點(diǎn)，利用

OQ

•

OR

=-

27

4

，可得x1x2=

9

4

，利用2

PQ

=-

PR

，可得2x1+x2=

9a

5

，2x1-x2=

6a

5

，從而可求雙曲線的方程．

解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)P為雙曲線上右支一點(diǎn)
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

∴|

PF1

|2+

|PF2

|2=4c2
∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a．
∴|

PF2

|=2a，|

PF1

|=4a
∴4a²+16a²=4c²
∴a=

1

5

c
∴e=

c

a

=

5

∴雙曲線的離心率為

5

；
（Ⅱ）不妨設(shè)P為雙曲線上右支一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x，y），（y＞0）則根據(jù)第二定義可得

2a

x- a2 c

=

c

a

∴2a=ex-a，又雙曲線的離心率為

5

；
∴x=

3a

5

代入雙曲線方程可得

( 3a 5 )2

a2

-

y2

b2

=1，∴y=

2b

5

∴P(

3a

5

，

2b

5

)
∵

PF1

•

PF2

=0
∴(

3a

5

)2+(

2b

5

)2-c2=0
∴b=2a
∴P(

3a

5

，

4a

5

)
設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
∵雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x=±2x，過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線交于Q，R兩點(diǎn)
∴Q（x₁，2x₁），R（x₂，-2x₂）
∵

OQ

•

OR

=-

27

4

∴x1x2=

9

4

∵2

PQ

=-

PR

∴2(x1-

3a

5

，2x1-

4a

5

)=-(x2-

3a

5

，-2x2-

4a

5

)
∴2x1+x2=

9a

5

，2x1-x2=

6a

5

∴x1=

3 5 a

4

，x2=

3 5 a

10

∴

3 5 a

4

× 

3 5 a

10

=

9

4

∴a²=2
∴b²=8
∴雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

8

=1

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量與解析幾何的綜合，解題時(shí)構(gòu)建方程是關(guān)鍵．