Question

已知曲線C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再從點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1﹣x_n，．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）記，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，
求證：；
（3）若已知，記數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n，數(shù)列{d_n}的前n項和為B_n，試比較A_n與的大小．

Answer 1

解：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），
∴=，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n﹣1+n﹣1=x_n﹣2+（n﹣2）+（n﹣1）=…=x₁+1+2+…+（n﹣1）=．
（2）∵，
∴，
∴當n≥2時，，
∴T_2n﹣1=c₁+c₂+…+c_2n﹣1≤=，（當n=1時取“=”）．
（3）∵a_n=x_n+1﹣x_n=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d₁=2，
∴，
于是
=．
∴．
當n=1，2時 ；
當n=3時，
當n≥4時，
下面證明：當n≥4時，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當n≥4時，=，
∴當n≥4時，
證法二：（函數(shù)法）∵n≥4時，2n﹣2
構(gòu)造函數(shù)，
[h'（x）]'=h''（x）=1﹣2^xln₂2
∴當x∈[4，+∞）時，h''（x）=1﹣2xln22＜0
∴h'（x）=x﹣2^xln2在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，
∴在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，
從而n≥4時，，即2ⁿ﹣2，
∴當n≥4時，．