Question

（2012•房山區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f(x)=-

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x3+2ax2-3a2x+a(a∈R)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若對于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線斜率為在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，所以只要求導(dǎo)，再求x=3時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再用點(diǎn)斜式求出直線方程．
（Ⅱ）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)f（x）的極大值和極小值是導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)的x的值，所以再令導(dǎo)數(shù)等于0，解出x的值，為極值點(diǎn)，再列表判斷極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若左正右負(fù)，為極大值，若左負(fù)右正，為極小值．
（ III） 根據(jù)（II）問的結(jié)論，x∈（3a，a）時(shí)，f(x)＜f(a)=a-

4

3

a3，從而根據(jù)不等式f（x）＜a+1在區(qū)間（3a，a）上恒成立列出關(guān)于a的不等關(guān)系，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=-

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x3+2x2-3x+1，…（1分）
f'（x）=-x²+4x-3…（2分）
當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=1，f'（3）=0           …（3分）
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為y-1=0…（4分）
（II）f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a）…（5分）a=0時(shí)，f'（x）≤0，（-∞，∞）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；無極值；…（6分）
a＞0時(shí)，在區(qū)間（-∞，a），（3a，∞）上，f'（x）＜0；  在區(qū)間（a，3a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，a），（3a，∞）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，（a，3a）是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，
函數(shù)的極大值是f（3a）=a；函數(shù)的極小值是f(a)=a-

4

3

a3；…（8分）
a＜0時(shí)，在區(qū)間（-∞，3a），（a，∞）上，f'（x）＜0； 在區(qū)間（3a，a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，3a），（a，∞）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，（3a，a）是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
函數(shù)的極大值是f(a)=a-

4

3

a3，函數(shù)的極小值是f（3a）=a…（10分）
（ III） 根據(jù)（II）問的結(jié)論，x∈（3a，a）時(shí)，f(x)＜f(a)=a-

4

3

a3…（11分）
因此，不等式f（x）＜a+1在區(qū)間（3a，a）上恒成立必須且只需：

a- 4 3 a3≤a+1 a＜0

，
解之，得 a∈[-

3 6

2

，0)…（13分）

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．