Question

已知命題“p：?x∈[1，2]，x²-a≥0”命題q：“?x₀＞0，x₀²+2ax₀+2-a=0”是否存在實(shí)數(shù)a，使“命題p∧q”為真命題，若存在，求a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：求出命題p為真命題的a的范圍，再通過分類討論求出q為真命題的a的范圍，“命題p∧q”為真命題，即命題q 命題p都是真命題，寫出a的范圍．

解答：解：已知命題“p：?x∈[1，2]，x²-a≥0”為真，
則x²≥a在[1，2]恒成立，
∵x²≥1
∴a≤1
命題q：“?x₀＞0，x₀²+2ax₀+2-a=0為真
令f（x）=x²+2ax+2-a=0在（0，+∞）上有解
1⁰：2-a=0即a=2，原式為：x²+4x=0不滿足題意
2⁰：一正一負(fù)根
f（0）＜0即2-a＜0即a＞2
3⁰：兩個正根

△=(2a)2-4(2-a)≥0 x1+x2=-2a＞0 x1x2=2-a＞0

a≥1或a≤-2 a＜0 a＜2

∴a≤-2
由以上可得：a≤-2或a＞2
“命題p∧q”為真命題，
即命題q 命題p都是真命題

a≤1 a≤-2或a＞2

∴a≤-2

點(diǎn)評：本題是一道綜合題，主要利用命題的真假關(guān)系，將復(fù)合命題的真假轉(zhuǎn)化為簡單命題的真假來解決．