已知函數(shù)f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)且滿足f（2）＜3，f（1）=2.

（1）求f（x）；

（2）說(shuō)明f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的單調(diào)性.

思路解析：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

解：（1）f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)應(yīng)滿足f（-x）=-f（x）.

∵f（-x）==-f（x）

=-，

∴c=0，即f（x）=.

f（1）=2=a+1=2b，         ①

f（2）= ＜3.                         ②

將①式代入②式得-1＜a＜2，即a=0或a=1.當(dāng)a=0時(shí)，b=Z，此種情況不合題意；

當(dāng)a=1時(shí)，b=1∈Z，滿足題意，所以f（x）=.

（2）f（x）==x+，任取x1＜x2≤-1，則f（x2）-f（x1）=（x2+）-（x1+）=（x2-x1）+ =（x2-x1）（1-）.

∵x1＜x2≤-1，∴（x2-x1）＞0，x1x2＞1，即（x2-x1）（1-）＞0.

可得f（x2）＞f（x1）.

∴函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（-∞，-1]上是增函數(shù).


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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